Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Урок содержит описание свойств и формулы нахождения высоты треугольника, а также примеры решения задач. Если Вы не нашли решение подходящей задачи - пишите про это на форуме . Наверняка, курс будет дополнен.

Формулы нахождения высоты треугольника

Рисунок приведен для облегчения восприятия формул нахождения высоты треугольника. Общее правило - длина стороны обозначена маленькой буквой, лежащей напротив соответствующего угла. То есть сторона a лежит напротив угла A.
Высота в формулах обозначается буквой h, нижний индекс которой соответствует стороне, на которую она опущена.

Другие обозначения:
a,b,c - длины сторон треугольника
h a - высота треугольника, проведенная к стороне a из противолежащего угла
h b - высота, проведенная к стороне b
h c - высота, проведенная к стороне c
R - радиус описанной окружности
r - радиус вписанной окружности

Пояснения к формулам.
Высота треугольника равна произведению длины стороны, прилежащей к углу, из которой опущена эта высота на синус угла между этой стороной и стороной, на которую такая высота опущена (Формула 1)
Высота треугольника равна частному от деления удвоенной величины площади треугольника на длину стороны, к которой опущена эта высота (Формула 2)
Высота треугольника равна частному от деления произведения сторон, прилежащих к углу, из которого опущена эта высота, на удвоенный радиус описанной вокруг него окружности (Формула 4).
Высоты сторон в треугольнике соотносятся между собой в той же самой пропорции, как соотносятся между собой обратные пропорции длин сторон этого же треугольника, а также в той же самой пропорции между собой относятся произведения пар сторон треугольника, которые имеют общий угол (Формула 5).
Сумма обратных значений высот треугольника равна обратному значению радиуса вписанной в такой треугольник окружности (Формула 6)
Площадь треугольника можно найти через длины высот этого треугольника (Формула 7)
Длину стороны треугольника, на которую опущена высота, можно найти через применение формул 7 и 2.

Задача на .

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90 0) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см

Решение .

Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой. Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).

Прямоугольные треугольники - единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.

Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)

Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:

AD/DC = DC/BD, то есть

Задача на применение теоремы Пифагора.

Треугольник ABC является прямоугольным. При этом C-прямой угол. Из него проведена высота CD=6см. Разность отрезков BD-AD=5 см.

Найти: Стороны треугольника ABC.

Решение .

1.Составим систему уравнений согласно теореме Пифагора

CD 2 +BD 2 =BC 2

CD 2 +AD 2 =AC 2

поскольку CD=6

Поскольку BD-AD=5, то

BD = AD+5, тогда система уравнений принимает вид

36+(AD+5) 2 =BC 2

Сложим первое и второе уравнение. Поскольку левая часть прибавляется к левой, а правая часть к правой - равенство не будет нарушено. Получим:

36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

2. Теперь, взглянув на первоначальный чертеж треугольника, по той же самой теореме Пифагора, должно выполняться равенство:

AC 2 +BC 2 =AB 2

Поскольку AB=BD+AD, уравнение примет вид:

AC 2 +BC 2 =(AD+BD) 2

Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

3. Теперь взглянем на результаты, полученные нами при решении в первой и второй части решения. А именно:

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

Они имеют общую часть AC 2 +BC 2 . Таким образом, приравняем их друг к другу.

72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2

72+AD 2 +10AD+25+AD 2 =4AD 2 +20AD+25

2AD 2 -10AD+72=0

В полученном квадратном уравнении дискриминант равен D=676, соответственно, корни уравнения равны:

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем первый корень.

Соответственно

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

По теореме Пифагора находим остальные стороны треугольника:

AC = корень из (52)

Почти никогда не получится определить все параметры треугольника без дополнительных построений. Эти построения являются своеобразными графическими характеристиками треугольника, которые помогают определить величину сторон и углов.

Определение

Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя сторонами составляют треугольник.

Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, не стандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.

Рис. 1. Высота тупоугольного треугольника.

Как правило, высота треугольника имеет обозначение буквой h. Так же обозначается высота и в других фигурах.

Как найти высоту треугольника?

Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:

Через теорему Пифагора

Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников. Разберем решение для равнобедренного треугольника, а потом скажем, почему это же решение справедливо для равностороннего.

Дано : равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для равнобедренного треугольника важно знать, какая именно сторона является основанием. Это определяет боковые стороны, которое должны быть равны, а так же высоту, на которую действую некоторые свойства.

Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основания:

• Высота совпадает с медианной и биссектрисой
• Делит основание на две равные части.

Высоту обозначим, как ВD. DС найдем как половину от основания, так как высота точкой D делит основание пополам. DС=4

Высота это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВН является катетом этого треугольника.

Найдем высоту по теореме Пифагора: $$ВD=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{25-16}=3$$

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.

Через площадь треугольника

Этим способом можно пользоваться для любого треугольника. Чтобы им воспользоваться, нужно знать значение площади треугольника и стороны, к которой проведена высота.

Высоты в треугольнике не равны, поэтому для соответствующей стороны получится вычислить соответствующую высоту.

Формула площади треугольника: $$S={1\over2}*bh$$, где b – это сторона треугольника,а h – высота, проведенная к этой стороне. Выразим из формулы высоту:

$$h=2*{S\over b}$$

Если площадь равна 15, сторона 5, то высота $$h=2*{15\over5}=6$$

Через тригонометрическую функцию

Третий способ подойдет, если известна сторона и угол при основании. Для этого придется воспользоваться тригонометрической функцией.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Угол ВСН=300 , а сторона BC=8. У нас все тот же прямоугольный треугольник BCH. Воспользуемся синусом. Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, значит: BH/BC=cos BCH.

Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:

$$BH=BC*\cos (60\unicode{xb0})=8*{1\over2}=4$$

Значение косинуса в общем случае берется из таблиц Брадиса, но значения тригонометрических функций для 30,45 и 60 градусов – табличные числа.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое высота треугольника, какие бывают высоты и как они обозначаются. Разобрались в типовых задачах и записали три формулы для высоты треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.6 . Всего получено оценок: 137.

Свойства

• Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром . - Это утверждение легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)

• В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла , разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
• В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
• Основания высот образуют так называемый ортотреугольник , обладающий собственными свойствами.

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

• Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.

• Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.

• При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.

Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Основные соотношения

где - площадь треугольника, - длина стороны треугольника, на которую опущена высота .

где - основание.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Если высота длиной h, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c на отрезки m и n, соответствующие b и a, то верны следующие равенства:

Мнемоническое стихотворение

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Высота треугольника" в других словарях:

ВЫСОТА, высоты, мн. высоты, высот, жен. 1. только ед. Протяжение снизу вверх, вышина. Высота дома. Башня большой высоты. || (мн. только спец. научн.). Расстояние от земной поверхности, измеряемое по вертикальной линии снизу вверх. Аэроплан летал… … Толковый словарь Ушакова

У этого термина существуют и другие значения, см. Высота (значения). Высота в элементарной геометрии отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или на… … Википедия

высота - ы/; мн. высо/ты; ж. см. тж. высотка, высотный 1) Величина, протяжённость чего л. от нижней точки до верхней, снизу вверх. Высота/ дома, дерева, горы. Высота/ волны. Плотина высотой в сто пят … Словарь многих выражений

Ы; мн. высоты; ж. 1. Величина, протяжённость чего л. от нижней точки до верхней, снизу вверх. В. дома, дерева, горы. В. волны. Плотина высотой в сто пятьдесят метров. Измерить, определить высоту чего л. 2. Расстояние от какой л. поверхности до… … Энциклопедический словарь

высота исходного треугольника резьбы - (H) Расстояние между вершиной и основанием исходного треугольника резьбы в направлении, перпендикулярном к оси резьбы. [ГОСТ 11708 82 (СТ СЭВ 2631 80)] Тематики нормы взаимозаменяемости Обобщающие термины основные элементы и параметры резьбы EN… … Справочник технического переводчика

Высота размер или расстояние в вертикальном направлении. Другие значения: В астрономии: Высота светила угол между плоскостью математического горизонта и направлением на светило. В военном деле: Высота возвышенность рельефа. В… … Википедия

ВЫСОТА, в геометрии отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (напр., треугольника, пирамиды, конуса) на ее основание (или продолжение основания), а также длина этого отрезка. Высота призмы, цилиндра, шарового слоя, а… … Энциклопедический словарь

В геометрии отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (напр., треугольника, пирамиды, конуса) на ее основание (или продолжение основания), а также длина этого отрезка. Высота призмы, цилиндра, шарового слоя, а также… … Большой Энциклопедический словарь

ВЫСОТА, ы, мн. оты, от, отам, жен. 1. Величина, протяжённость чего н. от нижней точки до верхней. В. кирпичной кладки. В. прибоя. В. циклона. 2. Пространство, расстояние от земли вверх. Смотреть в высоту. Самолёт набирает высоту. Лететь на… … Толковый словарь Ожегова

Высота в геометрии, отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или продолжение основания, а также длина этого отрезка. В. призмы, цилиндра, шарового слоя,… … Большая советская энциклопедия

Для решения многих геометрических задач требуется найти высоту заданной фигуры. Эти задачи имеют прикладное значение. При проведении строительных работ определение высоты помогает вычислить необходимое количество материалов, а также определить, насколько точно сделаны откосы и проемы. Часто для построения выкроек требуется иметь представление о свойствах

У многих людей, несмотря на хорошие оценки в школе, при построении обычных геометрических фигур возникает вопрос о том, как найти высоту треугольника или параллелограмма. Причем является самым сложным. Это происходит потому, что треугольник может быть острым, тупым, равнобедренным или прямоугольным. Для каждого из существуют свои правила построения и расчета.

Как найти высоту треугольника, в котором все углы острые, графическим способом

Если все углы у треугольника острые (каждый угол в треугольнике меньше 90 градусов), то для нахождения высоты необходимо сделать следующее.

1. По заданным параметрам выполняем построение треугольника.
2. Введем обозначения. А, В и С будут вершинами фигуры. Углы, соответствующие каждой вершине - α, β, γ. Противолежащие этим углам стороны - a, b, c.
3. Высотой называется перпендикуляр, опущенный из вершины угла к противоположной стороне треугольника. Для нахождения высот треугольника проводим построение перпендикуляров: из вершины угла α к стороне a, из вершины угла β к стороне b и так далее.
4. Точку пересечения высоты и стороны a обозначим H1, а саму высоту h1. Точка пересечения высоты и стороны b будет H2, высота соответственно h2. Для стороны c высота будет h3, а точка пересечения H3.

Высота в треугольнике с тупым углом

Теперь рассмотрим, как найти высоту треугольника, если один (больше 90 градусов). В этом случае высота, проведенная из тупого угла, будет внутри треугольника. Остальные две высоты будут находиться за пределами треугольника.

Пусть в нашем треугольнике углы α и β будут острыми, а угол γ - тупой. Тогда для построения высот, выходящих из углов α и β, надо продолжить противоположные им стороны треугольника, чтобы провести перпендикуляры.

Как найти высоту равнобедренного треугольника

У такой фигуры есть две равные стороны и основание, при этом углы, находящиеся при основании, также являются равными между собой. Это равенство сторон и углов облегчает построение высот и их вычисление.

Сначала нарисуем сам треугольник. Пусть стороны b и c, а также углы β, γ будут соответственно равными.

Теперь проведем высоту из вершины угла α, обозначим ее h1. Для эта высота будет одновременно биссектрисой и медианой.

Для основания можно сделать только одно построение. Например, провести медиану - отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника и противоположную сторону, основание, для нахождения высоты и биссектрисы. А для вычисления длины высоты для двух других сторон можно построить только одну высоту. Таким образом, чтобы графически определить, как вычислить высоту равнобедренного треугольника, достаточно найти две высоты из трех.

Как найти высоту прямоугольного треугольника

У прямоугольного треугольника определить высоты намного проще, чем у других. Это происходит потому, что сами катеты составляют прямой угол, а значит, являются высотами.

Для построения третьей высоты, как обычно, проводится перпендикуляр, соединяющий вершину прямого угла и противоположную сторону. В итоге для того, чтобы треугольника в данном случае, требуется только одно построение.