Сидит на берегу рыбак с удочкой, внимательно смотрит на поплавок, ждет, когда рыбка клюнет. Вряд ли задумываются любители рыбной ловли над тем, какие законы физики используются для изготовления рыболовных снастей. Кроме лески и крючков берутся поплавок и грузило. Предназначение их совершенно противоположное. Поплавок должен плавать на поверхности воды, подергиваться при клеве. Грузило, наоборот, должно затонуть и опустить крючки на глубину, где плавает рыба.

Простейшие явления, происходящие на воде, которые часто встречаются в жизни и взрослых, и детей, объясняются наличием внутри воды (да и любой жидкости тоже) выталкивающей силы.

Любой мяч, наполненный воздухом, будет плавать на поверхности. Не затонет и большой шар в зорбинге, даже если внутри него находится человек. Зорбинг - это современный экстремальный аттракцион на воде, иначе его называют «Водный шар». Сам шар - зорб. Однако, пройтись пешком по воде человек не сможет, хотя выталкивающая сила действует на человека тоже.

Зорбинг

Простой лабораторный опыт. Если взять динамометр, прикрепить к нему металлический цилиндр (пружина растянется под весом цилиндра), а затем опустить его в воду, показания динамометра уменьшатся. Это значит, что появилась сила, выталкивающая тело из воды, направленная вверх. Результирующая двух сил стала меньше.

Выталкивающая сила всегда направлена вверх. Какова же причина возникновения такой силы и ее происхождение?

Пусть в стакане с водой находится правильное тело - параллелепипед. Пусть площадь его основания S и высота H.

Все грани параллелепипеда находятся под водой, верхняя - на глубине h 1 , нижняя - h 2 . Сверху давление p 1 = ρ g h 1 , а снизу - p 2 = ρ g h 2. . Давление p 2 больше p 1 , так как h 2 больше h 1 . На вертикальные грани параллелепипеда действуют одинаковые давления, стремящиеся его сжать. Значит, сила давления снизу больше силы давления сверху. Разность этих сил и является силой, выталкивающей тело из жидкости. После алгебраических преобразований получается правило вычисления выталкивающей силы.

F = F 2 - F 1 = p 2 S - p 1 S = ρ ж g h 2 S - ρ ж g h 1 S = ρ ж g S (h 2 - h 1). Из рисунка видно, что разность h 2 - h 1 равна высоте параллелепипеда H, но произведение S∙H равно объему данной фигуры V т. Тогда, F = ρ ж g S H = ρ ж g V т. Результирующая сила, по которой вычисляют выталкивающую силу, запишется в следующем виде:

F A = ρ ж g V т

ρ ж - плотность жидкости.

«Эврика!» - воскликнул Архимед, понимая, от чего зависит сила, выталкивающая тела из жидкости. Конечно, это легенда, но сила носит название архимедовой, потому что Архимед впервые определил эту силу.

Легенда такова: правитель города Сиракузы на острове Сицилия был родственником Архимеда. Однажды он приказал мастеру изготовить золотую корону. Когда корона была готова, Гирон засомневался в честности мастера, заподозрив, что мастер заменил частично золото серебром или другими примесями. Герон потребовал от Архимеда установить истину.

Чтобы решить эту проблему, надо знать объем короны и объем золота той же массы. Если они совпадут, то мастер - молодец, в противном случае он - лжец.

Объем тела неправильной формы находят с помощью мензурки. Корону в мензурку не поместить. Архимед придумал, как найти объем большого тела, когда сам погрузился в ванну с водой. Он увидел, что часть воды вытекла. Возглас Архимеда «Эврика!», что значит «Нашел!», вошел во все языки мира.

Определенные таким способом объемы куска золота и короны оказались различными. Изготовитель короны был нечестен.

Случай с Архимедом послужил толчком для его дальнейших исследований поведения тела в жидкости. В его сочинении «О плавающих телах» был сформулирован закон, позволяющий определить архимедову силу. Впоследствии закону дали имя: закон Архимеда. Этот закон устанавливает связь выталкивающей силы с весом вытесненной телом жидкости.

В формуле F A = ρ ж g V т произведение ρ ж V т = m - это масса вытесненной жидкости, объем ее равен объему тела, вытесняющему эту жидкость. Значит,

F A = P т, т.е. тела выталкиваются из жидкости с силой, такой же, как и вес вытесненной жидкости .

Закон легко доказывается опытным путем:

Для опыта берется ведерко Архимеда, состоящее из двух частей: полое ведерко 2 и тяжелый цилиндр 3 такого же объема, что и ведерко. Ведерко и цилиндр вместе подвешиваются к динамометру 1, показания динамометра фиксируются (рис.а). Под цилиндр помещается сливной стакан 4 (стакан с носиком, направленным вниз для слива жидкости). Жидкость в стакан первоначально налита точно до сливного носика.

В тот момент, когда цилиндр помещается в воду, она вытесняется цилиндром и сливается в сосуд 5. На цилиндр вверх действует архимедова сила, показания динамометра уменьшаются (рис.б), т.е. вес цилиндра становится меньше.

Из сосуда 5 вытесненная жидкость выливается в пустое ведерко 2 (рис. в). Когда вся вода перелита в ведерко, динамометр фиксирует первоначальный вес (рис. г). Это означает, что при помещении в воду цилиндр потерял вес, равный весу жидкости, которая вытесняется из сливного стакана.

• на все тела, помещенные в жидкость, оказывает действие направленная вверх архимедова сила;
• архимедова сила связана с давлением, а значит, с плотностью жидкости, и объемом тела, помещенного в жидкость;
• архимедова сила не зависит от плотности изучаемого тела и глубины погружения.

О жидкости, в которой нельзя утонуть

В воде одни тела сразу тонут, а другие плавают. Тот же поплавок у рыбака держится на поверхности, а грузило плавает. Не тонет сухая древесина, но, если она долго пробудет в воде, пропитается ею, то окажется на дне. Существуют древесные породы, например, бакаут (железное дерево) и черное дерево , тонущие в воде в сухом виде. Почему одни тела свободно плавают, а другие тонут?

На тело, помещенное в жидкость, вниз действует сила тяжести и вверх - архимедова сила. Которая из двух сил преобладает, туда и направлена равнодействующая. Тело переместится в сторону равнодействующей силы:

Следует особо обратить внимание на разницу двух из приведенных случаев. Обычно говорят, что тело плавает, независимо, где оно плавает: внутри жидкости или на поверхности. Но, если F тяж = F A , тело плавает внутри. Если F тяж ˂ F A , тело плавает на поверхности (тело не может выпрыгнуть из жидкости и повиснуть над ней, сила тяжести вернет его).

При сравнении формул обеих сил просматривается объяснение, при каком условии силы различны или одинаковы.

F A = ρ ж g V т F тяж = mg = ρ т V т g.

В обеих формулах есть одинаковые множители: g и V т. Отличие в плотностях. Видно, что, если ρ т ˂ ρ ж, то сила тяжести меньше архимедовой - тело поднимается к поверхности жидкости. Если ρ т ˃ ρ ж, то сила тяжести больше выталкивающей - тело идет на дно. Если ρ т = ρ ж, силы тоже равны - тело плавает между дном и поверхностью (внутри) жидкости.

Именно поэтому поплавок, который обычно полый внутри (плотность воздуха 1,29 кг/м 3), плавает на воде (плотность воды 1000 кг/м 3). Свинцовое грузило (плотность свинца 11 300 кг/м 3) тонет.

Конечно, условия такого плавания подходят для сплошных тел. Например, стекло с плотностью 2600 кг/м 3 тонет в воде, а закупоренная стеклянная бутылка плавает, потому что весь объем закрытой бутылки занимает воздух с небольшой плотностью.

Способность бутылки плавать издавна использовали мореплаватели для передачи посланий о крушениях на землю. В пустую бутылку вкладывали свиток с текстом, бутылку закупоривали и бросали за борт. Долго бутылка путешествовала по морским просторам, но когда-то все равно волнами приливов прибивалась к суше.

Средняя плотность тела человека находится в пределах от 1030 до 1070 кг/м 3 . Значит, в чистой воде человек без умения плавать тонет.

Есть Мертвое море, где нельзя утонуть. В этом море, как и в воде залива Кара-Богаз-Гол (в Каспийском море) и озера Эльтон не утонуть, так как в них вода содержит около 27 % солей. Соли повышают плотность воды до 1180 кг/м 3 , что больше плотности человеческого тела. В обычной морской воде солей 2-3 % и плотность этой морской воды 1030 кг/м 3 .

Мертвое море

Некоторые домохозяйки используют для определения свежести купленных куриных яиц (плотность примерно 1090 кг/м 3) простой способ. Через мелкие поры в тонкой скорлупе часть жидкости сырого яйца испаряется, замещаясь воздухом. Плотность такого яйца уменьшается. Свежее более плотное яйцо в чистой воде затонет, несвежее - всплывет.

Другой пример из жизни домохозяек. Они наливают в кастрюлю с водой, где отваривают макароны, растительное масло, чтобы макароны не слипались. Как бы ни размешивали смесь масла и воды, масло всплывает наверх. Объяснить просто. Плотность масла 930 кг/м 3 , меньше плотности воды. Стоит ли наливать масло? Не стоит. Масло будет плавать поверх воды. Большая часть макарон будет находиться в чистой воде. Поэтому масло никак не повлияет на макароны.

Нефть, мазут, бензин всегда находятся на поверхности воды, что представляет угрозу для окружающей среды при водных катастрофах, связанных с этими веществами.

Нефть на воде

Жидкости менее плотные плавают сверху, а более плотные опускаются вниз. В жидкой ртути плавает большинство металлов, только наиболее плотные (осмий, вольфрам, иридий, золото и некоторые другие) тонут.

Интересный пример плавания представляет подводная лодка. Она может плавать на поверхности воды, внутри ее и может залечь на дно. Можно схематически показать, как это происходит.

Конструкция лодки даухкорпусная: внутренний и внешний корпусы. Внутренний корпус предназначен для технических устройств, оборудования, людей. Между внешним и внутренним корпусами находятся балластные цистерны. Когда лодке требуется погружение, открываются кингстоны - отверстия, через которые забортная вода поступает между внутренним и внешним отсеками, заполняя балластные цистерны. Сила тяжести возрастает и становится больше архимедовой. Лодка погружается.

Чтобы прекратить погружение или всплыть, цистерны под большим давлением продуваются компрессорами, вода вытесняется в океан, ее место занимает воздух. Сила тяжести уменьшается. В момент равенства силы тяжести и архимедовой лодка будет плавать внутри воды. При дальнейшем заполнении цистерн воздухом лодка всплывает.

Почему не тонут корабли?

Теперь следует объяснить плавание судов. Понятно, что корабли, изготовленные из строительного деревянного материала, плавают по волнам, так как плотность дерева меньше плотности воды. Условие плавания здесь срабатывает безоговорочно. Современные корабли изготовлены преимущественно из металлов, у которых большая плотность. Почему металлический гвоздь тонет, а корабль нет?

Кораблю придают специальную форму, чтобы он как можно больше вытеснял воды, вес которой превосходит силу тяжести судна. Этот вес равен выталкивающей (архимедовой) силе, и значит, она больше силы тяжести. Из металла делают основной корпус судна, а остальной его объем заполнен воздухом. Корпусом корабль вытесняет значительное количество воды, достаточно глубоко погружаясь в нее.

Глубину погружения судна моряки называют осадкой. После загрузки корабля его осадка увеличивается. Перегружать корабль нельзя, иначе нарушится условие плавания, корабль может затонуть. Рассчитывается максимальная осадка, на судне проводится красная линия, которую называют ватерлинией, ниже ее корабль оседать не должен.

Вес корабля с максимально взятым грузом называется водоизмещением.

Мореплавание и судостроение неразрывно связаны с историей человечества. От плотов и лодок глубокой древности к каравеллам Колумба и Магеллана, Васко де Гамы и первому российскому военному кораблю «Орел» (1665г.), от первого парохода «Клермонт», построенного Р. Фультоном в США в 1807 году, до ледокола «Арктика», созданного в России в 1975 году.

Суда используются в различных целях: для пассажирских и грузовых перевозок, для научно-исследовательских работ, для охраны границ государства.

К сожалению, с кораблями происходят и неприятности. Во время шторма или других катастроф они могут затонуть. Опять приходит на помощь закон Архимеда.

В судоходстве, мореплавании, спасении судов помогает закон Архимеда, как один из самых важных законов природы.

Воздухоплавание

Красивое зрелище: цветные воздушные шары на разной высоте голубого неба. Какая сила поднимает их вверх?

5 июня 1783 года во Франции братья Монгольфьер наполнили дымом оболочку шара диаметром 10 м, и он стремительно полетел ввысь. Впервые официально было зарегистрировано изобретение, показавшее путь к воздухоплаванию. 27 августа 1783 года на Марсовом поле Парижа профессор Жак Шарль наполнил шар водородом, плотность которого 0,09 кг/м 3 . Около трехсот тысяч зрителей увидели, как шар стремительно поднялся вверх и стал вскоре невидимым. Началась история воздухоплавания.

Человек издавна мечтал освоить воздушный океан, как птица, поднявшись в небеса. Мечта стала явью благодаря открытой архимедом силе, действующей во всех жидкостях и газах. На все тела на Земле оказывает действие выталкивающая их из воздуха сила. Для твердых тел она значительно меньше силы тяжести, на практике ее не учитывают. Для газов эта сила имеет существенное значение.

Подъемная сила летящих воздушных шаров - это разность между весом воздуха, вытесненного шаром, и весом газа в оболочке. Что значит «вытесненного газом» и откуда вытесненного. Корабль вытесняет воду из моря. Это для моря как «комар для слона», но, тем не менее, это так. Человек вытесняет воду из ванны, что уже очень заметно. Так и воздушный шар вытесняет воздух из атмосферы.

А вот имеет ли воздух вес, проверяется очень легко, даже в домашних условиях: найти середину ровной палочки или линейки, вколотить туда маленький гвоздик так, чтобы палочка могла свободно вокруг него поворачиваться. Можно подвесить палочку на нитке за середину. На края палочки повесить два одинаково надутых шара. Палочка располагается горизонтально, т.е. наблюдается равновесие. Выпустить воздух из одного шарика. Равновесие нарушается. Шарик с воздухом перевешивает.

Опыт в лабораторных условиях проводится также легко и понятно. Находится масса открытого (значит, там есть воздух) стеклянного шара (рис. а). Затем насосом откачивается из шара воздух (рис.б) и шар плотно закрывается пробкой. Новое определение массы показывает, что масса шара без воздуха меньше (рис. в). Зная массу можно найти вес воздуха.

Газ в оболочке шара должен иметь плотность заметно меньшую плотности воздуха, как и плотность тела на поверхности какой-либо жидкости меньше плотности самой жидкости. Плотность гелия 0,18 кг/м 3 , водорода 0,09 кг/м 3 , а плотность воздуха 1,29 кг/м 3 . Поэтому для наполнения оболочек шаров используются подобные газы.

Создать подъемную силу для воздушного шара можно уменьшением плотности воздуха.

Из анализа таблицы зависимости плотности воздуха от температуры следует вывод: с ростом температуры снижается плотность воздуха. Соответственно с повышением температуры разница между архимедовой силой и силой тяжести возрастает. Эта разница сил и является подъемной силой шара.

При подъеме температура воздуха в оболочке шара снижается. Воздух приходится нагревать, что небезопасно.

Подогрев воздуха в шаре

Полет на таких шарах осуществляется недолго. Чтобы продлить его, используют балласт - дополнительный груз, который крепится на гондоле (устройство, где находятся люди и приборы для работы). Сбрасывая балласт, можно подниматься выше. Спуская воздух из оболочки, можно опускаться вниз. Спускаясь или поднимаясь в разные слои атмосферы, можно уловить движение воздушных масс и двигаться в их направлении. Но подобрать нужное направление достаточно сложно. Таким способом можно лишь немного влиять на направление движения. Поэтому воздушные шары обычно движутся по направлению ветра.

На гигантских по своим размерам шарах (20 000 - 30 000 м 3) удавалось достигать стратосферы. Такие шары называют стратостатами. Гондола стратостата должна иметь пригодный для жизни человека микроклимат. Воздух и температура в стратосфере не соответствуют условиям жизни человека. Приходится специально обустраивать гондолы стратостатов.

Другие, более простые, воздушные шары называют аэростатами. Если к гондоле шара пристроить двигатель, то получится управляемый человеком аэростат, называемый дирижаблем.

Дирижабль

К сожалению, полеты аэростатов зависят от капризов природы. Однако эти устройства обладают неоспоримыми преимуществами:

• огромная подъемная сила;
• экологически чистые аппараты;
• не нуждаются в больших количествах топлива;
• зрелищны.

Поэтому эти аппараты еще долго будут служить человеку.

Словарь

1. Бакаут (железное дерево) - вечнозеленое дерево тропиков с плотностью древесина близкой к плотности чугуна.

2. Черное эбеновое дерево - вечнозеленое тропическое дерево, в ядре которого не видны годичные кольца. Ядро твердое, тяжелое. Плотность дерева 1300 кг/м 3 .

3. Спасательное судно - судно специального (вспомогательного) назначения, служащее для подъема на поверхность затонувших объектов или для помощи кораблям, терпящим бедствие.

4. Гондола - устройство, крепящееся к воздушному шару для помещения туда людей, различных вещей и аппаратуры.

На поверхность твердого тела, погруженного в жидкость, действуют, как мы знаем, силы давления. Так как давление увеличивается с глубиной погружения, то силы давления, действующие на нижнюю часть тела и направленные вверх, больше, чем силы, действующие на верхнюю его часть и направленные вниз, и мы можем ожидать, что равнодействующая сил давления будет направлена вверх. Опыт подтверждает это предположение.

Рис. 258. Если груз погружен в воду, показание динамометра уменьшается

Рис. 259. Пробка, погруженная в воду, натягивает нитку

Если, например, гирю, подвешенную к крючку динамометра, опустить в воду, то показание динамометра уменьшится (рис. 258).

Равнодействующая сил давления на тело, погруженное в жидкость, называется выталкивающей силой. Выталкивающая сила может быть больше силы тяжести, действующей на тело; например, кусок пробки, привязанный к дну сосуда, наполненного водой, стремясь всплыть, натягивает нитку (рис. 259). Выталкивающая сила возникает и в случае частичного погружения тела. Кусок дерева, плавающий на поверхности воды, не тонет именно благодаря наличию выталкивающей силы, направленной вверх.

Если тело, погруженное в жидкость, предоставить самому себе, то оно тонет, остается в равновесии или всплывает на поверхность жидкости в зависимости от того, меньше ли выталкивающая сила силы тяжести, действующей на тело, равна ей или больше ее. Выталкивающая сила зависит от рода жидкости, в которую, погружено тело. Например, кусок железа тонет в воде, но плавает в ртути; значит, в воде выталкивающая сила, действующая на этот кусок меньше, а в ртути - больше силы тяжести.

Найдем выталкивающую силу, действующую на твердое тело, погруженное в жидкость.

Рис. 260. а) Тело находится в жидкости, б) Тело заменено жидкостью

Выталкивающая сила, действующая на тело (рис. 260 а), есть равнодействующая сил давления жидкости на его поверхность. Представим себе, что тело удалено и его место занято той же жидкостью (рис. 260, б). Давление на поверхность такого мысленно выделенного объёма будет таким же, каким было давление на поверхность самого тела. Значит, и равнодействующая сила давления на тело (выталкивающая сила) равна равнодействующей сил давления на выделенный объем жидкости. Но выделенный объем жидкости находится в равновесии. Силы, действующие на него, - это сила тяжести и выталкивающая сила (рис. 261, а). Значит, выталкивающая сила равна по модулю силе тяжести, действующей на выделенный объем жидкости, и направлена вверх. Точкой приложения этой силы должен быть центр тяжести выделенного объема. В противном случае равновесие нарушилось бы, так как сила тяжести и выталкивающая сила образовали бы пару сил (рис. 261, б). Но, как уже сказано, выталкивающая сила для выделенного объема совпадает с выталкивающей силой тела. Мы приходим, таким образом, к закону Архимеда:

Выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна по модулю силе тяжести, действующей на жидкость в объеме, занимаемом телом (вытесненный объем), направлена вертикально вверх и приложена в центре тяжести этого объема. Центр тяжести вытесненного объема называют центром давления.

Рис. 261. а) Равнодействующая сил давления на поверхность погруженного тела равна силе тяжести, действующей на жидкость, объем которой равен объему тела, б) Если бы точка приложения равнодействующей силы не совпадала с центром тяжести вытесненного объема жидкости, то получилась бы пара сил и равновесие этого объема было бы невозможным

Для тела, имеющего простую форму, можно вычислить выталкивающую силу, рассмотрев силы давления на его поверхность. Пусть, например, тело, погруженное в жидкость, имеет форму прямого параллелепипеда и расположено так, что две его противолежащие грани горизонтальны (рис. 262). Площадь его основания обозначим через , высоту - через , а расстояние от поверхности до верхней грани - через .

Равнодействующая сил давления жидкости составляется из сил давления на боковую поверхность параллелепипеда и на его основания. Силы действующие на боковые грани, взаимно уничтожаются, так как для противолежащих граней силы давления равны по модулю и противоположны по направлению. Давление на верхнее основание равно , на нижнее основание равно . Следовательно, силы давления на верхнее и на нижнее основания равны соответственно

причем сила направлена вниз, а сила - вверх. Таким образом, равнодействующая всех сил давления на поверхность параллелепипеда (выталкивающая сила) равна разности модулей сил и :

и направлена вертикально вверх. Но - это объем параллелепипеда, а - масса вытесненной телом жидкости. Значит, выталкивающая сила действительно равна по модулю силе тяжести, действующей на вытесненный объем жидкости.

Рис. 262. К вычислению выталкивающей силы

Рис. 263. Опытная проверка закона Архимеда при помощи «ведерка Архимеда»

Если тело, подвешенное к чашке весов, погрузить в жидкость, то весы показывают разность между весом тела и выталкивающей силой, т. е. весом вытесненной жидкости. Поэтому закону Архимеда придают иногда следующую формулировку: тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость.

Для иллюстрации справедливости этого вывода сделаем следующий опыт (рис. 263): пустое ведерко («ведерко Архимеда») и сплошной цилиндр , имеющий объем, в точности равный вместимости ведерка, подвесим к динамометру. Затем, подставив сосуд с водой, погрузим цилиндр в воду; равновесие нарушится, и растяжение динамометра уменьшится. Если теперь наполнить ведерко водой, то динамометр снова растянется до прежней длины. Потеря в весе цилиндра как раз равна весу воды в объеме цилиндра.

По закону равенства действия и противодействия выталкивающей силе, с которой жидкость действует на погруженное тело, соответствует сила, с которой тело действует на жидкость. Эта сила направлена вертикально вниз и равна весу жидкости, вытесненной телом. Следующий опыт демонстрирует сказанное (рис. 264). Неполный стакан с водой уравновешивают на весах. Затем в стакан погружают тело, подвешенное на штативе; при этом чашка со стаканом опускается, и для восстановления равновесия приходится добавить на другую чашку гирю, вес которой равен весу воды, вытесненной телом.

Рис. 264. Вес гири, которую нужно положить на левую чашку весов, равен весу воды, вытесненной телом

160.1. Найдите выталкивающую силу, действующую на погруженный в воду камень массы 3 кг, если его плотность равна .

160.2. Куб с ребром 100 мм погружен в сосуд, наполненный водой, поверх которой налит керосин так, что линия раздела обеих жидкостей проходит посередине ребра куба. Найдите выталкивающую силу, действующую на куб. Плотность керосина равна .

160.3 . Кусок пробки массы 10 г, обмотанный медной проволокой с поперечным сечением , остается в равновесии в воде, не погружаясь и не всплывая (табл. 1). Найдите длину проволоки.

160.4. Что произойдет с весами, находящимися в равновесии, если в стакане с водой, стоящий на чашке весов, погрузить палец, не прикасаясь пальцем ни к дну, ни к стенкам стакана?

160.5. К чашкам весов подвешены на нитках кусок меди и кусок железа массы 500 г каждый (табл. 1). Нарушится ли равновесие, если медь погрузить в воду, а железо - в керосин плотности . Гирю какой массы и на какую чашку весов нужно поставить, чтобы восстановить равновесие?

Закон Архимеда – закон статики жидкостей и газов, согласно которому на погруженное в жидкость (или газ) тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объеме тела.

История вопроса

«Эврика!» («Нашел!») – именно этот возглас, согласно легенде, издал древнегреческий ученый и философ Архимед, открыв принцип вытеснения. Легенда гласит, что сиракузский царь Герон II попросил мыслителя определить, из чистого ли золота сделана его корона, не причиняя вреда самому царскому венцу. Взвесить корону Архимеду труда не составило, но этого было мало – нужно было определить объем короны, чтобы рассчитать плотность металла, из которого она отлита, и определить, чистое ли это золото. Дальше, согласно легенде, Архимед, озабоченный мыслями о том, как определить объем короны, погрузился в ванну – и вдруг заметил, что уровень воды в ванне поднялся. И тут ученый осознал, что объем его тела вытеснил равный ему объем воды, следовательно, и корона, если ее опустить в заполненный до краев таз, вытеснит из него объем воды, равный ее объему. Решение задачи было найдено и, согласно самой расхожей версии легенды, ученый побежал докладывать о своей победе в царский дворец, даже не потрудившись одеться.

Однако, что правда – то правда: именно Архимед открыл принцип плавучести. Если твердое тело погрузить в жидкость, оно вытеснит объем жидкости, равный объему погруженной в жидкость части тела. Давление, которое ранее действовало на вытесненную жидкость, теперь будет действовать на твердое тело, вытеснившее ее. И, если действующая вертикально вверх выталкивающая сила окажется больше силы тяжести, тянущей тело вертикально вниз, тело будет всплывать; в противном случае оно пойдет ко дну (утонет). Говоря современным языком, тело плавает, если его средняя плотность меньше плотности жидкости, в которую оно погружено.

Закон Архимеда и молекулярно-кинетическая теория

В покоящейся жидкости давление производится посредством ударов движущихся молекул. Когда некий объем жидкости вымещается твердым телом, направленный вверх импульс ударов молекул будет приходиться не на вытесненные телом молекулы жидкости, а на само тело, чем и объясняется давление, оказываемое на него снизу и выталкивающее его в направлении поверхности жидкости. Если же тело погружено в жидкость полностью, выталкивающая сила будет по-прежнему действовать на него, поскольку давление нарастает с увеличением глубины, и нижняя часть тела подвергается большему давлению, чем верхняя, откуда и возникает выталкивающая сила. Таково объяснение выталкивающей силы на молекулярном уровне.

Такая картина выталкивания объясняет, почему судно, сделанное из стали, которая значительно плотнее воды, остается на плаву. Дело в том, что объем вытесненной судном воды равен объему погруженной в воду стали плюс объему воздуха, содержащегося внутри корпуса судна ниже ватерлинии. Если усреднить плотность оболочки корпуса и воздуха внутри нее, получится, что плотность судна (как физического тела) меньше плотности воды, поэтому выталкивающая сила, действующая на него в результате направленных вверх импульсов удара молекул воды, оказывается выше гравитационной силы притяжения Земли, тянущей судно ко дну, – и корабль плывет.

Формулировка и пояснения

Тот факт, что на погруженное в воду тело действует некая сила, всем хорошо известен: тяжелые тела как бы становятся более легкими – например, наше собственное тело при погружении в ванну. Купаясь в речке или в море, можно легко поднимать и передвигать по дну очень тяжелые камни – такие, которые не удается поднять на суше. В то же время легкие тела сопротивляются погружению в воду: чтобы утопить мяч размером с небольшой арбуз требуется и сила, и ловкость; погрузить мяч диаметром полметра скорее всего не удастся. Интуитивно ясно, что ответ на вопрос – почему тело плавает (а другое – тонет), тесно связан с действием жидкости на погруженное в нее тело; нельзя удовлетвориться ответом, что легкие тела плавают, а тяжелые – тонут: стальная пластинка, конечно, утонет в воде, но если из нее сделать коробочку, то она может плавать; при этом ее вес не изменился.

Существование гидростатического давления приводит к тому, что на любое тело, находящееся в жидкости или газе, действует выталкивающая сила. Впервые значение этой силы в жидкостях определил на опыте Архимед. Закон Архимеда формулируется так: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу того количества жидкости или газа, которое вытеснено погруженной частью тела.

Формула

Сила Архимеда, действующая на погруженное в жидкость тело, может быть рассчитана по формуле: F А = ρ ж gV пт,

где ρж – плотность жидкости,

g – ускорение свободного падения,

Vпт – объем погруженной в жидкость части тела.

Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести Fт и архимедовой силы FA, которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:

1) Fт > FA – тело тонет;

2) Fт = FA – тело плавает в жидкости или газе;

3) Fт < FA – тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.

Равновесие механической системы (абсолютно твердого тела)

Равновесие механической системы - это состояние, при котором все точки механической системы находятся в покое по отношению к рассматриваемой системе отсчета. Если система отсчета инерциальна, равновесие называется абсолютным, если неинерциальна - относительным.

Для нахождения условий равновесия абсолютно твердого тела необходимо мысленно разбить его на большое число достаточно малых элементов, каждый из которых можно представить материальной точкой. Все эти элементы взаимодействуют между собой - эти силы взаимодействия называются внутренними. Помимо этого на ряд точек тела могут действовать внешние силы.

Согласно второму закону Ньютона, чтобы ускорение точки равнялось нулю (а ускорение покоящейся точки равно нулю), геометрическая сумма сил, действующих на эту точку, должна быть равна нулю. Если тело находится в покое, значит, все его точки (элементы) также находятся в покое. Следовательно, для любой точки тела можно записать:

${F_i}↖{→}+{F"_i}↖{→}=0$,

где ${F_i}↖{→}+{F"_i}↖{→}$ - геометрическая сумма всех внешних и внутренних сил, действующих на $i$-й элемент тела.

Уравнение означает, что для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент этого тела, была равна нулю.

Из уравнения легко получить первое условие равновесия тела (системы тел). Для этого достаточно просуммировать уравнение по всем элементам тела:

$∑{F_i}↖{→}+∑{F"_i}↖{→}=0$.

Вторая сумма равна нулю согласно третьему закону Ньютона: векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, т. к. любой внутренней силе соответствует сила, равная по модулю и противоположная по направлению.

Следовательно,

$∑{F_i}↖{→}=0$

Первым условием равновесия твердого тела (системы тел) является равенство нулю геометрической суммы всех внешних сил, приложенных к телу.

Это условие является необходимым, но не достаточным. В этом легко убедиться, вспомнив о вращающем действии пары сил, геометрическая сумма которых тоже равна нулю.

Вторым условием равновесия твердого тела является равенство нулю суммы моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно любой оси.

Таким образом, условия равновесия твердого тела в случае произвольного числа внешних сил выглядят так:

$∑{F_i}↖{→}=0;∑M_k=0$

Закон Паскаля

Гидростатика (от греч. hydor - вода и statos - стоящий) - один из подразделов механики, изучающий равновесие жидкости, а также равновесие твердых тел, частично или полностью погруженных в жидкость.

Закон Паскаля - основной закон гидростатики, согласно которому давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

Этот закон был открыт французским ученым Б. Паскалем в 1653 г. и опубликован в 1663 г.

Чтобы убедиться в справедливости закона Паскаля, достаточно проделать простой опыт. Присоединим к трубке с поршнем полый шар со множеством маленьких отверстий. Наполнив шар водой, нажмем на поршень, чтобы увеличить в нем давление. Вода начнет выливаться, но не только через то отверстие, которое находится на линии действия прилагаемой нами силы, а и через все остальные тоже. Причем напор воды, обусловленный внешним давлением, во всех появившихся струйках будет одинаковым.

Аналогичный результат мы получим в том случае, если вместо воды будем использовать дым. Таким образом, закон Паскаля справедлив не только для жидкостей, но и для газов.

Жидкости и газы передают оказываемое на них давление по всем направлениям одинаково.

Передача давления жидкостями и газами во всех направлениях одновременно объясняется достаточно высокой подвижностью частиц, из которых они состоят.

Давление покоящейся жидкости на дно и стенки сосуда (гидростатическое давление)

Жидкости (и газы) передают по всем направлениям не только внешнее давление, но и то давление, которое существует внутри них благодаря весу собственных частей.

Давление, оказываемое покоящейся жидкостью, называется гидростатическим.

Получим формулу для расчета гидростатического давления жидкости на произвольной глубине $h$ (в окрестности точки А на рисунке).

Сила давления, действующая со стороны вышележащего узкого столба жидкости, может быть выражена двумя способами:

1) как произведение давления $р$ в основании этого столба на площадь его сечения $S$:

2) как вес того же столба жидкости, т. е. произведение массы $m$ жидкости на ускорение свободного падения:

Масса жидкости может быть выражена через ее плотность $р$ и объем $V$:

а объем - через высоту столба и площадь его поперечного сечения:

Подставляя в формулу $F=mg$ значение массы из $m=pV$ и объема из $V=Sh$, получим:

Приравнивая выражения $F=pS$ и $F=pVg=pShg$ для силы давления, получим:

Разделив обе части последнего равенства на площадь $S$, найдем давление жидкости на глубине $h$:

Это и есть формула гидростатического давления.

Гидростатическое давление на любой глубине внутри жидкости не зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость, и равно произведению плотности жидкости, ускорения свободного падения и глубины, на которой определяется давление.

Важно еще раз подчеркнуть, что по формуле гидростатического давления можно рассчитывать давление жидкости, налитой в сосуд любой формы, в том числе давление на стенки сосуда, а также давление в любой точке жидкости, направленное снизу вверх, поскольку давление на одной и той же глубине одинаково по всем направлениям.

С учетом атмосферного давления $р_0$, формула для давления покоящейся в ИСО жидкости на глубине $h$ запишется следующим образом:

Гидростатический парадокс

Гидростатический парадокс - явление, заключающееся в том, что вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления жидкости на дно сосуда.

В данном случае под словом «парадокс» понимают неожиданное явление, не соответствующее обычным представлениям.

Так, в расширяющихся кверху сосудах сила давления на дно меньше веса жидкости, а в сужающихся - больше. В цилиндрическом сосуде обе силы одинаковы. Если одна и та же жидкость налита до одной и той же высоты в сосуды разной формы, но с одинаковой площадью дна, то, несмотря на разный вес налитой жидкости, сила давления на дно одинакова для всех сосудов и равна весу жидкости в цилиндрическом сосуде.

Это следует из того, что давление покоящейся жидкости зависит только от глубины под свободной поверхностью и от плотности жидкости: $p=pgh$ (формула гидростатического давления ). А так как площадь дна у всех сосудов одинакова, то и сила, с которой жидкость давит на дно этих сосудов, одна и та же. Она равна весу вертикального столба $АВСD$ жидкости: $P=pghS$, здесь $S$ - площадь дна (хотя масса, а следовательно, и вес в этих сосудах различны).

Гидростатический парадокс объясняется законом Паскаля - способностью жидкости передавать давление одинаково во всех направлениях.

Из формулы гидростатического давления следует, что одно и то же количество воды, находясь в разных сосудах, может оказывать разное давление на дно. Поскольку это давление зависит от высоты столба жидкости, то в узких сосудах оно будет больше, чем в широких. Благодаря этому даже небольшим количеством воды можно создавать очень большое давление. В 1648 г. это очень убедительно продемонстрировал Б. Паскаль. Он вставил в закрытую бочку, наполненную водой, узкую трубку и, поднявшись на балкон второго этажа, вылил в эту трубку кружку воды. Из-за малой толщины трубки вода в ней поднялась до большой высоты, и давление в бочке увеличилось настолько, что крепления бочки не выдержали, и она треснула.

Закон Архимеда

Закон Архимеда - закон статики жидкостей и газов, согласно которому на всякое тело, погруженное в жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (или газа) выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа) и направленная по вертикали вверх.

Этот закон был открыт древнегреческим ученым Архимедом в III в. до н. э. Свои исследования Архимед описал в трактате «О плавающих телах», который считается одним из последних его научных трудов.

Ниже приведены выводы, следующие из закона Архимеда.

Действие жидкости и газа на погруженное в них тело

Если погрузить в воду мячик, наполненный воздухом, и отпустить его, то он всплывет. То же самое произойдет со щепкой, с пробкой и многими другими телами. Какая же сила заставляет их всплывать?

На тело, погруженное в воду, со всех сторон действуют силы давления воды. В каждой точке тела эти силы направлены перпендикулярно его поверхности. Если бы все эти силы были одинаковы, тело испытывало бы лишь всестороннее сжатие. Но на разных глубинах гидростатическое давление различно: оно возрастает с увеличением глубины. Поэтому силы давления, приложенные к нижним участкам тела, оказываются больше сил давления, действующих на тело сверху.

Если заменить все силы давления, приложенные к погруженному в воду телу, одной (результирующей или равнодействующей) силой, оказывающей на тело то же самое действие, что и все эти отдельные силы вместе, то результирующая сила будет направлена вверх. Это и заставляет тело всплывать. Эта сила называется выталкивающей силой , или архимедовой силой (по имени Архимеда, который впервые указал на ее существование и установил, от чего она зависит). На рисунке она обозначена как $F_A$.

Архимедова (выталкивающая) сила действует на тело не только в воде, но и в любой другой жидкости, т. к. в любой жидкости существует гидростатическое давление, разное на разных глубинах. Эта сила действует и в газах, благодаря чему летают воздушные шары и дирижабли.

Благодаря выталкивающей силе вес любого тела, находящегося в воде (или в любой другой жидкости), оказывается меньше, чем в воздухе, а в воздухе меньше, чем в безвоздушном пространстве. В этом легко убедиться, взвесив гирю с помощью учебного пружинного динамометра сначала в воздухе, а затем опустив ее в сосуд с водой.

Уменьшение веса происходит и при переносе тела из вакуума в воздух (или какой-либо другой газ).

Если вес тела в вакууме (например, в сосуде, из которого откачан воздух) равен $Р_0$, то его вес в воздухе равен:

$P_{возд}=P_0-F"_A,$

где $F"_A$ - архимедова сила, действующая на данное тело в воздухе. Для большинства тел эта сила ничтожно мала и ею можно пренебречь, т. е. можно считать, что $P_{возд}=P_0=mg$.

Вес тела в жидкости уменьшается значительно сильнее, чем в воздухе. Если вес тела в воздухе $P_{возд}=P_0$, то вес тела в жидкости равен $Р_{жидк}= Р_0 - F_A$. Здесь $F_A$ - архимедова сила, действующая в жидкости. Отсюда следует, что

$F_A=P_0-P_{жидк}$

Поэтому чтобы найти архимедову силу, действующую на тело в какой-либо жидкости, нужно это тело взвесить в воздухе и в жидкости. Разность полученных значений и будет архимедовой (выталкивающей) силой.

Другими словами, учитывая формулу $F_A=P_0-P_{жидк}$, можно сказать:

Выталкивающая сила, действующая на погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости, вытесненной этим телом.

Определить архимедову силу можно также теоретически. Для этого предположим, что тело, погруженное в жидкость, состоит из той же жидкости, в которую оно погружено. Мы имеем право это предположить, так как силы давления, действующие на тело, погруженное в жидкость, не зависят от вещества, из которого оно сделано. Тогда приложенная к такому телу архимедова сила $F_A$ будет уравновешена действующей вниз силой тяжести $m_{ж}g$ (где $m_{ж}$ - масса жидкости в объеме данного тела):

Но сила тяжести $m_{ж}g$ равна весу вытесненной жидкости $Р_ж$, Таким образом,

Учитывая, что масса жидкости равна произведению ее плотности $р_ж$ на объем, формулу $F_{A}=m_{ж}g$ можно записать в виде:

$F_A=p_{ж}V_{ж}g$

где $V_ж$ - объем вытесненной жидкости. Этот объем равен объему той части тела, которая погружена в жидкость. Если тело погружено в жидкость целиком, то он совпадает с объемом $V$ всего тела; если же тело погружено в жидкость частично, то объем $V_ж$ вытесненной жидкости меньше объема $V$ тела.

Формула $F_{A}=m_{ж}g$ справедлива и для архимедовой силы, действующей в газе. Только в этом случае в нее следует подставлять плотность газа и объем вытесненного газа, а не жидкости.

С учетом вышеизложенного закон Архимеда можно сформулировать так:

На всякое тело, погруженное в покоящуюся жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (или газа) выталкивающая сила, равная произведению плотности жидкости (или газа), ускорения свободного падения и объема той части тела, которая погружена в жидкость (или газ).

Свободные колебания математического и пружинного маятников

Свободные колебания (или собственные колебания) - это колебания колебательной системы, совершаемые только благодаря первоначально сообщенной энергии (потенциальной или кинетической) при отсутствии внешних воздействий.

Потенциальная или кинетическая энергия может быть сообщена, например, в механических системах через начальное смещение или начальную скорость.

Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними образуют систему тел, которая называется колебательной системой.

Например, пружина, шарик и вертикальная стойка, к которой прикреплен верхний конец пружины, входят в колебательную систему. Здесь шарик свободно скользит по струне (силы трения пренебрежимо малы). Если отвести шарик вправо и предоставить его самому себе, он будет совершать свободные колебания около положения равновесия (точки О) вследствие действия силы упругости пружины, направленной к положению равновесия.

Другим классическим примером механической колебательной системы является математический маятник . В данном случае шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити (в колебательную систему входит также Земля). Их равнодействующая направлена к положению равновесия. Силы, действующие между телами колебательной системы, называются внутренними силами. Внешними силами называются силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в нее. С этой точки зрения свободные колебания можно определить как колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из положения равновесия.

Условиями возникновения свободных колебаний являются:

1. возникновение в них силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия, после того как ее вывели из этого состояния;
2. отсутствие трения в системе.

Динамика свободных колебаний

Колебания тела под действием сил упругости. Уравнение колебательного движения тела под действием силы упругости $F_{упр}$ может быть получено с учетом второго закона Ньютона ($F=ma$) и закона Гука ($F_{упр}=-kx$), где $m$ - масса шарика, $а$ - ускорение, приобретаемое шариком под действием силы упругости, $k$ - коэффициент жесткости пружины, $х$ - смещение тела от положения равновесия (оба уравнения записаны в проекции на горизонтальную ось $Ох$). Приравнивая правые части этих уравнений и учитывая, что ускорение $а$ - это вторая производная от координаты $х$ (смещения), получим:

Это дифференциальное уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости: вторая производная координаты по времени {ускорение тела) прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Колебания математического маятника. Для получения уравнения колебания математического маятника необходимо разложить силу тяжести $F_т=mg$ на нормальную $F_n$ (направленную вдоль нити) и тангенциальную $F_τ$ (касательную к траектории движения шарика - окружности) составляющие. Нормальная составляющая силы тяжести $F_n$ и сила упругости нити $F_{упр}$ в сумме сообщают маятнику центростремительное ускорение, не влияющее на величину скорости, а лишь меняющее ее направление, а тангенциальная составляющая $F_τ$ является той силой, которая возвращает шарик в положение равновесия и заставляет его совершать колебательные движения. Используя, как и в предыдущем случае, закон Ньютона для тангенциального ускорения - $ma_τ=F_τ$ и учитывая, что $F_τ=-mgsinα$, получим:

Знак минус появился потому, что сила и угол отклонения от положения равновесия $α$ имеют противоположные знаки. Для малых углов отклонения $sinα≈α$. В свою очередь, $α={s}/{l}$, где $s$ - дуга $ОА$, $l$ - длина нити. Учитывая, что $a_τ=s""$, окончательно получим:

Вид уравнения $s""={g}/{l}s$ аналогичен уравнению $x""=-{k}/{m}x$. Только здесь параметрами системы являются длина нити и ускорение свободного падения, а не жесткость пружины и масса шарика; роль координаты играет длина дуги (т. е. пройденный путь, как и в первом случае).

Таким образом, свободные колебания описываются уравнениями одного вида (подчиняются одним и тем же законам) независимо от физической природы сил, вызывающих эти колебания.

Решением уравнений $x""=-{k}/{m}x$ и $s""={g}/{l}s$ является функция вида:

$x=x_{m}cosω_{0}t$(или $x=x_{m}sinω_{0}t$)

То есть координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону косинуса или синуса, и, следовательно, эти колебания являются гармоническими.

В уравнении $x=x_{m}cosω_{0}t$ хт- амплитуда колебания, $ω_{0}$ - собственная циклическая (круговая) частота колебаний.

Циклическая частота и период свободных гармонических колебаний определяются свойствами системы. Так, для колебаний тела, прикрепленного к пружине, справедливы соотношения:

$ω_0=√{{k}/{m}}; T=2π√{{m}/{k}}$

Собственная частота тем больше, чем больше жесткость пружины или меньше масса груза, что вполне подтверждается опытом.

Для математического маятника выполняются равенства:

$ω_0=√{{g}/{l}}; T=2π√{{l}/{g}}$

Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Гюйгенсом (современником Ньютона).

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника и не зависит от его массы.

Следует особо обратить внимание на то, что гармонические колебания являются строго периодическими (т. к. подчиняются закону синуса или косинуса) и даже для математического маятника, являющегося идеализацией реального (физического) маятника, возможны только при малых углах колебания. Если углы отклонения велики, смещение груза не будет пропорционально углу отклонения (синусу угла) и ускорение не будет пропорционально смещению.

Скорость и ускорение тела, совершающего свободные колебания, также будут совершать гармонические колебания. Беря производную по времени функции $x=x_{m}cosω_{0}t$, получим выражение для скорости:

$x"=υ=-x_{m}·sinω_{0}t=υ_{m}cos(ω_{0}t+{π}/{2})$

где $υ_{m}$ - амплитуда скорости.

Аналогично выражение для ускорения а получим, дифференцируя $x"=υ=-x_{m}·sinω_{0}t=υ_{m}cos(ω_{0}t+{π}/{2})$:

$a=x""=υ"-x_{m}ω_0^{2}cosω_{0}t=a_{m}·cos(ω_{0}t+π)$

где $a_m$ - амплитуда ускорения. Таким образом, из полученных уравнений следует, что амплитуда скорости гармонических колебаний пропорциональна частоте, а амплитуда ускорения - квадрату частоты колебания:

$υ_{m}=ω_{0}x_m; a_m=ω_0^{2}x_m$

Фаза колебаний

Фаза колебаний - это аргумент периодически изменяющейся функции, описывающей колебательный или волновой процесс.

Для гармонических колебаний

$X(t)=Acos(ωt+φ_0)$

где $φ=ωt+φ_0$ - фаза колебания, $А$ - амплитуда, $ω$ - круговая частота, $t$ - время, $φ_0$ - начальная (фиксированная) фаза колебания: в момент времени $t=0$ $φ=φ_0$. Фаза выражается в радианах .

Фаза гармонического колебания при постоянной амплитуде определяет не только координату колеблющегося тела в любой момент времени, но и скорость и ускорение, которые тоже изменяются по гармоническому закону (скорость и ускорение гармонических колебаний - это первая и вторая производные по времени функции $X(t)=Acos(ωt+φ_0)$, которые, как известно, снова дают синус и косинус). Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени.

Два колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут отличаться друг от друга фазами. Так как $ω={2π}/{T}$, то

$φ-φ_0=ωt={2πt}/{T}$

Отношение ${t}/{T}$ показывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому значению времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженной в радианах. Сплошная кривая - это зависимость координаты от времени и одновременно от фазы колебаний (верхние и нижние значения на оси абсцисс соответственно) для точки, совершающей гармонические колебания по закону:

$x=x_{m}cosω_{0}t$

Здесь начальная фаза равна нулю $φ_0=0$. В начальный момент времени амплитуда максимальна. Это соответствует случаю колебаний тела, прикрепленного к пружине (или маятника), которое в начальный момент времени отвели от положения равновесия и отпустили. Описание колебаний, начинающихся из положения равновесия (например, при кратковременном толчке покоящегося шарика), удобнее вести с помощью функции синуса:

Как известно, $cosφ=sin(φ+{π}/{2})$, поэтому колебания, описываемые уравнениями $x=x_{m}cosω_{0}t$ и $x=sinω_{0}t$, отличаются друг от друга только фазами. Разность фаз, или сдвиг фаз, составляет ${π}/{2}$. Чтобы определить сдвиг фаз, нужно колеблющуюся величину выразить через одну и ту же тригонометрическую функцию - косинус или синус. Пунктирная кривая сдвинута относительно сплошной на ${π}/{2}$.

Сравнивая уравнения свободных колебаний, координаты, скорости и ускорения материальной точки, находим, что колебания скорости опережают по фазе на ${π}/{2}$, а колебания ускорения - на $π$ колебания смещения (координаты).

Затухающие колебания

Затухание колебаний - это уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Свободные колебания всегда являются затухающими колебаниями.

Потери энергии колебаний в механических системах связаны с превращением ее в теплоту вследствие трения и сопротивления окружающей среды.

Так, механическая энергия колебаний маятника расходуется на преодоление сил трения и сопротивления воздуха, переходя при этом во внутреннюю энергию.

Амплитуда колебаний постепенно уменьшается, и через некоторое время колебания прекращаются. Такие колебания называются затухающими.

Чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания. Например, в воде колебания прекращаются быстрее, чем в воздухе.

Упругие волны (механические волны)

Возмущения, распространяющиеся в пространстве, удаляясь от места их возникновения, называют волнами.

Упругие волны - это возмущения, распространяющиеся в твердой, жидкой и газообразной средах благодаря действию в них сил упругости.

Сами эти среды называют упругими . Возмущение упругой среды - это любое отклонение частиц этой среды от своего положения равновесия.

Возьмем, например, длинную веревку (или резиновую трубку) и прикрепим один из ее концов к стене. Туго натянув веревку, резким боковым движением руки создадим на ее незакрепленном конце кратковременное возмущение. Мы увидим, что это возмущение побежит вдоль веревки и, дойдя до стены, отразится назад.

Начальное возмущение среды, приводящее к появлению в ней волны, вызывается действием в ней какого-нибудь инородного тела, которое называют источником волны . Это может быть рука человека, ударившего по веревке, камешек, упавший в воду, и т. д.

Если действие источника носит кратковременный характер, то в среде возникает так называемая одиночная волна . Если же источник волны совершает длительное колебательное движение, то волны в среде начинают идти одна за другой. Подобную картину можно увидеть, поместив над ванной с водой вибрирующую пластину, имеющую наконечник, опущенный в воду.

Необходимым условием возникновения упругой волны является появление в момент возникновения возмущения сил упругости, препятствующих этому возмущению. Эти силы стремятся сблизить соседние частицы среды, если они расходятся, и отдалить их, когда они сближаются. Действуя на все более удаленные от источника частицы среды, силы упругости начинают выводить их из положения равновесия. Постепенно все частицы среды одна за другой вовлекаются в колебательное движение. Распространение этих колебаний и проявляется в виде волны.

В любой упругой среде одновременно существуют два вида движения: колебания частиц среды и распространение возмущения. Волна, в которой частицы среды колеблются вдоль направления ее распространения, называется продольной , а волна, в которой частицы среды колеблются поперек направления ее распространения, называется поперечной.

Продольная волна

Волна, в которой колебания происходят вдоль направления распространения волны, называется продольной.

В упругой продольной волне возмущения представляют собой сжатия и разрежения среды. Деформация сжатия сопровождается возникновением сил упругости в любой среде. Поэтому продольные волны могут распространяться во всех средах (и в жидких, и в твердых, и в газообразных).

Пример распространения продольной упругой волны изображен на рисунке. По левому концу длинной пружины, подвешенной на нитях, ударяют рукой. От удара несколько витков сближаются, возникает сила упругости, под действием которой эти витки начинают расходиться. Продолжая движение по инерции, они будут продолжать расходиться, минуя положение равновесия и образуя в этом месте разрежение. При ритмичном воздействии витки на конце пружины будут то сближаться, то отходить друг от друга, т. е. колебаться возле своего положения равновесия. Эти колебания постепенно передадутся от витка к витку вдоль всей пружины. По пружине распространятся сгущения и разрежения витков, или упругая волна.

Поперечная волна

Волны, в которых колебания происходят перпендикулярно направлению их распространения, называются поперечными.

В поперечной упругой волне возмущения представляют собой смещения (сдвиги) одних слоев среды относительно других. Деформация сдвига приводит к появлению сил упругости только в твердых телах: сдвиг слоев в газах и жидкостях возникновением сил упругости не сопровождается. Поэтому поперечные волны могут распространяться только в твердых телах.

Плоская волна

Плоская волна - это волна, у которой направление распространения одинаково во всех точках пространства.

В такой волне амплитуда не меняется со временем (по мере удаления от источника). Получить такую волну можно, если большую пластину, находящуюся в сплошной однородной упругой среде, заставить колебаться перпендикулярно плоскости. Тогда все точки среды, примыкающей к пластине, будут колебаться с одинаковыми амплитудами и одинаковыми фазами. Распространяться эти колебания будут в виде волн в направлении нормали к пластине, причем все частицы среды, лежащие в плоскостях, параллельных пластине, будут колебаться с одинаковыми фазами.

Геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение, называется волновой поверхностью , или фронтом волны.

С этой точки зрения плоской волне можно дать и следующее определение.

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

Линия, нормальная к волновой поверхности, называется лучом . Вдоль лучей происходит перенос энергии волны. Для плоских волн лучи - это параллельные прямые.

Уравнение плоской синусоидальной волны имеет вид:

$s=s_{m}sin[ω(t-{x}/{υ})+φ_0]$

где $s$ - смещение колеблющейся точки, $s_m$ - амплитуда колебаний, $ω$ - циклическая частота, $t$ - время, $х$ - текущая координата, $υ$ - скорость распространения колебаний или скорость волны, $φ_0$ - начальная фаза колебаний.

Сферическая волна

Сферической называется волна, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер называется центром волны.

Лучи в такой волне направлены вдоль радиусов, расходящихся от центра волны. На рисунке источником волны является пульсирующая сфера.

Амплитуда колебаний частиц в сферической волне обязательно убывает по мере удаления от источника. Энергия, излучаемая источником, равномерно распределяется по поверхности сферы, радиус которой непрерывно увеличивается по мере распространения волны. Уравнение сферической волны имеет вид:

$s={a_0}/{r}sin[ω(t-{r}/{υ})+φ_0]$

В отличие от плоской волны, где $s_m=A$ - амплитуда волны постоянная величина, в сферической волне она убывает с расстоянием от центра волны.

Длина и скорость волны

Любая волна распространяется с некоторой скоростью. Под скоростью волны понимают скорость распространения возмущения. Например, удар по торцу стального стержня вызывает в нем местное сжатие, которое затем распространяется вдоль стержня со скоростью около $5$ км/с.

Скорость волны определяется свойствами среды, в которой эта волна распространяется. При переходе волны из одной среды в другую ее скорость изменяется.

Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний в ней.

Поскольку скорость волны - величина постоянная (для данной среды), то пройденное волной расстояние равно произведению скорости на время ее распространения. Таким образом, чтобы найти длину волны, надо скорость волны умножить на период колебаний в ней:

где $υ$ - скорость волны, $Т$ - период колебаний в волне, $λ$ (греческая буква лямбда) - длина волны.

Формула $λ=υT$ выражает связь длины волны с ее скоростью и периодом. Учитывая, что период колебаний в волне обратно пропорционален частоте $v$, т. е. $T={1}/{v}$, можно получить формулу, выражающую связь длины волны с ее скоростью и частотой:

$λ=υT=υ{1}/{v}$

Полученная формула показывает, что скорость волны равна произведению длины волны на частоту колебаний в ней.

Длина волны - это пространственный период волны . На графике волны длина волны определяется как расстояние между двумя ближайшими точками гармонической бегущей волны , находящимися в одинаковой фазе колебаний. Рисунок - это как бы мгновенные фотографии волн в колеблющейся упругой среде в моменты времени $t$ и $t+∆t$. Ось $х$ совпадает с направлением распространения волны, на оси ординат отложены смещения $s$ колеблющихся частиц среды.

Частота колебаний в волне совпадает с частотой колебаний источника, т. к. колебания частиц в среде являются вынужденными и не зависят от свойств среды, в которой распространяется волна. При переходе волны из одной среды в другую ее частота не изменяется, меняются лишь скорость и длина волны.

Интерференция и дифракция волн

Интерференция волн (от лат. inter - взаимно, между собой и ferio - ударяю, поражаю) - взаимное усиление или ослабление двух (или большего числа) волн при их наложении друг на друга при одновременном распространении в пространстве.

Обычно под интерференционным эффектом понимают тот факт, что результирующая интенсивность в одних точках пространства получается больше, в других - меньше суммарной интенсивности волн.

Интерференция волн - одно из основных свойств волн любой природы: упругих, электромагнитных, в том числе и световых, и др.

Интерференция механических волн

Сложение механических волн - их взаимное наложение - проще всего наблюдать на поверхности воды. Если возбудить две волны, бросив в воду два камня, то каждая из этих волн ведет себя так, как будто другой волны не существует. Аналогично ведут себя звуковые волны от разных независимых источников. В каждой точке среды колебания, вызванные волнами, просто складываются. Результирующее смещение любой частицы среды представляет собой алгебраическую сумму смещений, которые происходили бы при распространении одной из волн в отсутствие другой.

Если одновременно в двух точках $О_1$ и $O_2$ возбудить в воде две когерентные гармонические волны, то будут наблюдаться гребни и впадины на поверхности воды, не меняющиеся со временем, т. е. возникнет интерференция.

Условием возникновения максимума интенсивности в некоторой точке $М$, находящейся на расстояниях $d_1$ и $d_2$ от источников волн $О_1$ и $О_2$, расстояние между которыми $l << d_1$ и $l << d_2$, будет:

где $k = 0,1,2,...$,а $λ$ - длина волны.

Амплитуда колебаний среды в данной точке максимальна, если разность хода двух волн, возбуждающих колебания в этой точке, равна целому числу длин волн и при условии, что фазы колебаний двух источников совпадают.

Под разностью хода $∆d$ здесь понимают геометрическую разность путей, которые проходят волны от двух источников до рассматриваемой точки: $∆d=d_2-d_1$. При разности хода $∆d=kλ$ разность фаз двух волн равна четному числу $π$, и амплитуды колебаний будут складываться.

Условием минимума является:

$∆d=(2k+1){λ}/{2}$

Амплитуда колебаний среды в данной точке минимальна, если разность хода двух волн, возбуждающих колебания в этой точке, равна нечетному числу полуволн и при условии, что фазы колебаний двух источников совпадают.

Разность фаз волн в этом случае равна нечетному числу $π$, т. е. колебания происходят в противофазе, следовательно, гасятся; амплитуда результирующего колебания равна нулю.

Распределение энергии при интерференции

Вследствие интерференции происходит перераспределение энергии в пространстве. Она концентрируется в максимумах за счет того, что в минимумы не поступает совсем.

Дифракция волн

Дифракция волн (от лат. diffractus - разломанный) - в первоначальном узком смысле - огибание волнами препятствий, в современном - более широком - любые отклонения при распространении волн от законов геометрической оптики.

Дифракция волн проявляется особенно отчетливо в случаях, когда размеры препятствий меньше длины волны или сравнимы с ней.

Способность волн огибать препятствия можно наблюдать на морских волнах, легко огибающих камень, размеры которого малы по сравнению с длиной волны. Звуковые волны также способны огибать препятствия, благодаря чему мы слышим, например, сигнал машины, находящейся за углом дома.

Явление дифракции волн на поверхности воды можно наблюдать, если поставить на пути волн экран с узкой щелью, размеры которой меньше длины волны. За экраном распространяется круговая волна, как если бы в отверстии экрана располагалось колеблющееся тело - источник волн. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, так и должно быть. Вторичные источники в узкой щели располагаются столь близко друг к другу, что их можно рассматривать как один точечный источник.

Если размеры щели велики по сравнению с длиной волны, то волна проходит сквозь щель, почти не меняя своей формы, лишь по краям видны еле заметные искривления волновой поверхности, благодаря которым волна проникает и в пространство за экраном.

Звук (звуковые волны)

Звук (или звуковые волны) - это распространяющиеся в виде волн колебательные движения частиц упругой среды: газообразной, жидкой или твердой.

Под словом «звук» понимают также ощущения, вызываемые действием звуковых волн на специальный орган чувств (орган слуха или, проще говоря, ухо) человека и животных: человек слышит звук частотой от $16$ Гц до $20$ кГц. Частоты этого диапазона называют звуковыми.

Итак, физическое понятие звука подразумевает упругие волны не только тех частот, которые человек слышит, но также более низкие и более высокие частоты. Первые называются инфразвуком , вторые-ультразвуком . Самые высокочастотные упругие волны в диапазоне $10^{9} - 10^{13}$ Гц относятся к гиперзвуку.

«Услышать» звуковые волны можно, заставив дрожать зажатую в тисках длинную стальную линейку. Однако если над тисками будет выступать большая часть линейки, то, вызвав ее колебания, мы не услышим порождаемые ею волны. Но если укоротить выступающую часть линейки и тем самым увеличить частоту ее колебаний, то линейка начнет звучать.

Источники звука

Любое тело, колеблющееся со звуковой частотой, является источником звука, так как в окружающей среде возникают распространяющиеся от него волны.

Существуют как естественные, так и искусственные источники звука. Один из искусственных источников звука, камертон, был изобретен в 1711 г. английским музыкантом Дж. Шором для настройки музыкальных инструментов.

Камертон представляет собой изогнутый (в виде двух ветвей) металлический стержень с держателем посередине. Ударив резиновым молоточком по одной из ветвей камертона, мы услышим определенный звук. Ветви камертона начинают вибрировать, создавая вокруг себя попеременные сжатия и разрежения воздуха. Распространяясь по воздуху, эти возмущения образуют звуковую волну.

Стандартная частота колебаний камертона - $440$ Гц. Это означает, что за $1$с его ветви совершают $440$ колебаний. На глаз они незаметны. Если, однако, прикоснуться к звучащему камертону рукой, то можно почувствовать его вибрацию. Для определения характера колебаний камертона к одной из его ветвей следует прикрепить иглу. Заставив камертон звучать, проведем соединенной с ним иглой по поверхности закопченной стеклянной пластинки. На пластинке появится след в форме синусоиды.

Для усиления звука, издаваемого камертоном, его держатель укрепляют на деревянном ящике, открытом с одной стороны. Этот ящик называют резонатором . При колебаниях камертона вибрация ящика передается находящемуся в нем воздуху. Из-за резонанса, возникающего при правильно подобранных размерах ящика, амплитуда вынужденных колебаний воздуха возрастает, и звук усиливается. Его усилению способствует и увеличение площади излучающей поверхности, которое имеет место при соединении камертона с ящиком.

Нечто подобное происходит и в таких музыкальных инструментах, как гитара, скрипка. Сами по себе струны этих инструментов создают слабый звук. Громким он становится благодаря наличию у них корпуса определенной формы с отверстием, через которое могут выходить звуковые волны.

Источниками звука могут быть не только колеблющиеся твердые тела, но и некоторые явления, вызывающие колебания давления в окружающей среде (взрывы, полет пуль, завывания ветра и т. д.). Наиболее ярким примером подобных явлений является молния. Во время грозы температура в канале молнии увеличивается до $30000°$С. Давление резко возрастает, и в воздухе возникает ударная волна, постепенно переходящая в звуковые колебания (с типичной частотой $60$ Гц), распространяющиеся в виде раскатов грома.

Интересным источником звука является дисковая сирена, изобретенная немецким физиком Т. Зеебеком (1770-1831). Она представляет собой соединенный с электродвигателем диск с отверстиями, расположенными перед сильной струей воздуха. При вращении диска поток воздуха, проходящего через отверстия, периодически прерывается, в результате чего возникает резкий характерный звук. Частота этого звука определяется по формуле $v=nk$, где $n$ - частота вращения диска, $k$ - число отверстий в нем.

Используя сирену с несколькими рядами отверстий и регулируемой частотой вращения диска, можно получить звуки разной частоты. Частотный диапазон сирен, применяемых на практике, составляет обычно от $200$ Гц до $100$ кГц и выше.

Свое название эти источники звука получили по имени полуптиц-полуженщин, которые, согласно древнегреческим мифам, завлекали своим пением мореходов на кораблях, и те разбивались о прибрежные скалы.

Приемники звука

Приемники звука служат для восприятия звуковой энергии и преобразования ее в другие виды энергии. К приемникам звука относятся, в частности, слуховой аппарат человека и животных. В технике для приема звука применяют главным образом микрофоны (в воздухе), гидрофоны (в воде) и геофоны (в земной коре).

В газах и жидкостях звуковые волны распространяются в виде продольных волн сжатия и разрежения. Сжатия и разрежения среды, возникающие вследствие колебаний источника звука (колокольчика, струны, камертона, мембраны телефона, голосовых связок и т. д.), через некоторое время достигают человеческого уха, заставляя барабанную перепонку уха совершать вынужденные колебания с частотой, соответствующей частоте источника звука. Дрожания барабанной перепонки передаются посредством системы косточек окончаниям слухового нерва, раздражают их и тем вызывают у человека определенные слуховые ощущения. Животные также реагируют на упругие колебания, правда, в качестве звука они воспринимают волны других частот.

Человеческое ухо - очень чувствительный прибор. Воспринимать звук мы начинаем уже тогда, когда амплитуда колебаний частиц воздуха в волне оказывается равной всего лишь радиусу атома! С возрастом из-за потери эластичности барабанной перепонки верхняя граница воспринимаемых человеком частот постепенно снижается. Лишь молодые люди способны слышать звуки с частотой $20$ кГц. В среднем и тем более в старшем возрасте как мужчины, так и женщины перестают воспринимать звуковые волны, частота которых превышает $12-14$ кГц.

Ухудшается слух людей и в результате длительного воздействия громких звуков. Работа вблизи мощных самолетов, в очень шумных заводских цехах, частое посещение дискотек и чрезмерное увлечение аудиоплеерами негативно влияют на остроту восприятия звуков (особенно высокочастотных) и в некоторых случаях могут привести к потере слуха.

Громкость звука

Громкость звука - это субъективное качество слухового ощущения, позволяющее располагать звуки по шкале от тихих до громких.

Слуховые ощущения, которые у нас вызывают различные звуки, во многом зависят от амплитуды звуковой волны и ее частоты, которые являются физическими характеристиками звуковой волны. Этим физическим характеристикам соответствуют определенные физиологические характеристики, связанные с нашим восприятием звука.

Громкость звука определяется амплитудой: чем больше амплитуда колебаний в звуковой волне, тем больше громкость.

Так, когда колебания звучащего камертона затухают, вместе с амплитудой уменьшается и громкость звука. И наоборот, ударив по камертону сильнее и тем самым увеличив амплитуду его колебаний, мы вызовем и более громкий звук.

Громкость звука зависит также от того, насколько чувствительно наше ухо к данному звуку. Наибольшей чувствительностью человеческое ухо обладает к звуковым волнам с частотой $1-5$ кГц. Поэтому, например, высокий женский голос с частотой $1000$ Гц будет восприниматься нашим ухом как более громкий, чем низкий мужской голос с частотой $200$ Гц, даже если амплитуды колебаний голосовых связок у них одинаковы.

Громкость звука зависит также от его длительности, интенсивности и от индивидуальных особенностей слушателя.

Интенсивностью звука называется энергия, переносимая звуковой волной за $1$с через поверхность площадью $1м^2$. Оказалось, что интенсивность самых громких звуков (при которых возникает ощущение боли) превышает интенсивность самых слабых звуков, доступных восприятию человека, в $10$ триллионов раз! В этом смысле человеческое ухо оказывается намного более совершенным устройством, чем любой из обычных измерительных приборов. Ни одним из них столь широкий диапазон значений измерить невозможно (у приборов диапазон измерений редко превосходит $100$).

Единицу громкости называют соном. Громкостью в $1$ сон обладает приглушенный разговор. Тиканье часов характеризуется громкостью около $0.1$ сона, обычный разговор - $2$ сона, стук пишущей машинки - $4$ сона, громкий уличный шум - $8$ сон. В кузнечном цехе громкость достигает $64$ сон, а на расстоянии $4$ м от работающего двигателя реактивного самолета - $264$ сон. Звуки еще большей громкости начинают вызывать болевые ощущения.

Высота звука

Помимо громкости звук характеризуется высотой. Высота звука определяется его частотой: чем больше частота колебаний в звуковой волне, тем выше звук. Колебаниям небольшой частоты соответствуют низкие звуки, колебаниям большой частоты - высокие звуки.

Так, например, шмель машет своими крылышками с меньшей частотой, чем комар: у шмеля она составляет $220$ взмахов в секунду, а у комара - $500-600$. Поэтому полет шмеля сопровождается низким звуком (жужжанием), а полет комара - высоким (писком).

Звуковую волну определенной частоты иначе называют музыкальным тоном, поэтому о высоте звука часто говорят как о высоте тона.

Основной тон с примесью нескольких колебаний других частот образует музыкальный звук. Например, звуки скрипки и пианино могут включать до $15-20$ различных колебаний. От состава каждого сложного звука зависит его тембр.

Частота свободных колебаний струны зависит от ее размеров и натяжения. Поэтому, натягивая струны гитары с помощью колышков и прижимая их к грифу гитары в разных местах, мы меняем их собственную частоту, а следовательно, и высоту издаваемых ими звуков.

Характер восприятия звука во многом зависит от планировки помещения, в котором слушается речь или музыка. Объясняется это тем, что в закрытых помещениях слушатель воспринимает, кроме прямого звука, еще и слитный ряд быстро следующих друг за другом повторений, вызванных многократными отражениями звука от находящихся в помещении предметов, стен, потолка и пола.

Отражение звука

На границе между двумя разными средами часть звуковой волны отражается, а часть проходит дальше.

При переходе звука из воздуха в воду $99.9%$ звуковой энергии отражается назад, однако давление в прошедшей в воду звуковой волне оказывается почти в $2$ раза больше, чем в воздухе. Слуховой аппарат рыб реагирует именно на это. Поэтому, например, крики и шумы над поверхностью воды являются верным способом распугать морских обитателей. Человека же, оказавшегося под водой, эти крики не оглушат: при погружении в воду в его ушах останутся воздушные пробки, которые и спасут его от звуковой перегрузки.

При переходе звука из воды в воздух снова отражается $99.9%$ энергии. Но если при переходе из воды в воздух звуковое давление увеличивалось, то теперь оно, наоборот, резко уменьшается. Именно по этой причине человек, находящийся над водой, не слышит звук, возникающий под водой при ударе одним камнем о другой.

Такое поведение звука на границе между водой и воздухом дало основание нашим предкам считать подводный мир «миром молчания». Отсюда же и выражение «нем как рыба». Однако еще Леонардо да Винчи предлагал слушать подводные звуки, приложив ухо к веслу, опущенному в воду. Воспользовавшись таким способом, можно убедиться, что рыбы на самом деле довольно болтливы.

Эхо

Отражением звука объясняется и эхо. Эхо - это звуковые волны, отраженные от какого-либо препятствия (зданий, холмов, деревьев) и возвратившиеся к своему источнику. Мы слышим эхо лишь в том случае, когда отраженный звук воспринимается отдельно от произнесенного. Происходит это тогда, когда до нас доходят звуковые волны, последовательно отразившиеся от нескольких препятствий и разделенные интервалом времени $t > 50-60$ мс. Тогда возникает многократное эхо. Некоторые из таких явлений приобрели мировую известность. Так, например, скалы, расположенные в форме круга возле Адерсбаха в Чехии, в определенном месте повторяют $7$ слогов, а в замке Вудсток в Англии эхо отчетливо повторяет $17$ слогов!

Слово «эхо» связано с именем горной нимфы Эхо, которая, согласно древнегреческой мифологии, безответно была влюблена в Нарцисса. От тоски по возлюбленному Эхо высохла и окаменела так, что от нее остался лишь голос, способный повторять окончания произнесенных в ее присутствии слов.

Почему не слышно эхо в небольшой квартире? Ведь и в ней звук должен отражаться от стен, потолка, пола. Дело в том, что время $t$, за которое звук проходит расстояние, скажем, $s=6м$, распространяясь со скоростью $υ=340$ м/с, равно:

$t={s}/{υ}={6}/{340}=0.02c$

А это значительно меньше времени ($0.06$ с), необходимого, чтобы услышать эхо.

Увеличение длительности звука, вызванное его отражениями от различных препятствий, называется реверберацией . Реверберация велика в пустых помещениях, где она приводит к гулкости. И наоборот, помещения с мягкой обивкой стен, драпировками, шторами, мягкой мебелью, коврами, а также наполненные людьми хорошо поглощают звук, и потому реверберация в них незначительна.

Скорость звука

Для распространения звука необходима упругая среда. В вакууме звуковые волны распространяться не могут, так как там нечему колебаться. В этом можно убедиться на простом опыте. Если поместить под стеклянный колокол электрический звонок, то по мере выкачивания из-под колокола воздуха звук от звонка будет становиться все слабее и слабее, пока не прекратится совсем.

Известно, что во время грозы мы видим вспышку молнии и лишь через некоторое время слышим раскаты грома. Это запаздывание возникает из-за того, что скорость звука в воздухе значительно меньше скорости света, идущего от молнии.

Скорость звука в воздухе впервые была измерена в 1636 г. французским ученым М. Мерсенном. При температуре $20°$С она равна $343$ м/с, т. е. $1235$ км/ч. Заметим, что именно до такого значения уменьшается на расстоянии $800$ м скорость пули, вылетевшей из автомата Калашникова. Начальная скорость пули $825$ м/с, что значительно превышает скорость звука в воздухе. Поэтому человек, услышавший звук выстрела или свист пули, может не беспокоиться: эта пуля его уже миновала. Пуля обгоняет звук выстрела и достигает своей жертвы до того, как приходит этот звук.

Скорость звука в газах зависит от температуры среды: с увеличением температуры воздуха она возрастает, а с уменьшением - убывает. При $0°$С скорость звука в воздухе составляет $332$ м/с.

В разных газах звук распространяется с разной скоростью. Чем больше масса молекул газа, тем меньше скорость звука в нем. Так, при температуре $0°$С скорость звука в водороде составляет $1284$ м/с, в гелии - $965$ м/с, а в кислороде - $316$ м/с.

Скорость звука в жидкостях , как правило, больше скорости звука в газах. Скорость звука в воде впервые была измеренав 1826 г. Ж. Колладоном и Я. Штурмом. Свои опыты они проводили на Женевском озере в Швейцарии. На одной лодке поджигали порох и одновременно ударяли в колокол, опущенный в воду. Звук этого колокола, опущенного в воду, улавливался на другой лодке, которая находилась на расстоянии $14$ км от первой. По интервалу времени между вспышкой светового сигнала и приходом звукового сигнала определили скорость звука в воде. При температуре $8°$С она оказалась равной $1440$ м/с.

Скорость звука в твердых телах больше, чем в жидкостях и газах. Если приложить ухо к рельсу, то после удара по другому концу рельса слышно два звука. Один из них достигает уха по рельсу, другой - по воздуху.

Хорошей проводимостью звука обладает земля. Поэтому в старые времена при осаде в крепостных стенах помещали «слухачей», которые по звуку, передаваемому землей, могли определить, ведет ли враг подкоп к стенам или нет. Прикладывая ухо к земле, также следили за приближением вражеской конницы.

Твердые тела хорошо проводят звук. Благодаря этому люди, потерявшие слух, иной раз способны танцевать под музыку, которая доходит до слуховых нервов не через воздух и наружное ухо, а через пол и кости.

Скорость звука можно определить, зная длину волны и частоту (или период) колебаний:

$υ=λv, υ={λ}/{T}$

Инфразвук

Звуковые волны с частотой, меньшей $16$ Гц, называются инфразвуком.

Инфразвуковые волны человеческое ухо не воспринимает. Несмотря на это, они способны оказывать на человека определенное физиологическое воздействие. Объясняется это действие резонансом. Внутренние органы нашего тела имеют достаточно низкие собственные частоты: брюшная полость и грудная клетка - $5-8$ Гц, голова - $20-30$ Гц. Среднее значение резонансной частоты для всего тела составляет $6$ Гц. Имея частоты того же порядка, инфразвуковые волны заставляют наши органы вибрировать и при очень большой интенсивности способны привести к внутренним кровоизлияниям.

Специальные опыты показали, что облучение людей достаточно интенсивным инфразвуком может вызвать потерю чувства равновесия, тошноту, непроизвольное вращение глазных яблоки т. д. Например, на частоте $4-8$ Гц человек ощущает перемещение внутренних органов, а на частоте $12$ Гц - приступ морской болезни.

Рассказывают, что однажды американский физик Р. Вуд (прослывший среди коллег большим оригиналом и весельчаком) принес в театр специальный аппарат, излучающий инфразвуковые волны, и, включив его, направил на сцену. Никакого звука никто не услышал, однако с актрисой случилась истерика.

Резонансным влиянием на человеческий организм низкочастотных звуков объясняется и возбуждающее действие современной рок-музыки, насыщенной многократно усиленными низкими частотами барабанов, бас-гитар.

Инфразвук не воспринимается человеческим ухом, однако его способны слышать некоторые животные. Например, медузы уверенно воспринимают инфразвуковые волны с частотой $8-13$ Гц, возникающие при шторме в результате взаимодействия потоков воздуха с гребнями морских волн. Достигая медуз, эти волны заранее (за $15$ часов!) «предупреждают» о приближающемся шторме.

Источниками инфразвука могут служить грозовые разряды, выстрелы, извержения вулканов, работающие двигатели реактивных самолетов, ветер, обтекающий гребни морских волн, и т. д. Для инфразвука характерно малое поглощение в различных средах, вследствие чего он может распространяться на очень большие расстояния. Это позволяет определить места сильных взрывов, положение стреляющего орудия, осуществлять контроль за подземными ядерными взрывами, предсказывать цунами и т. д.

Ультразвук

Упругие волны с частотой выше $20$ кГц называются ультразвуком.

Ультразвук в животном мире . Ультразвук, как и инфразвук, не воспринимается человеческим ухом, однако его способны излучать и воспринимать некоторые животные. Так, например, дельфины благодаря этому уверенно ориентируются в мутной воде. Посылая и принимая возвратившиеся назад ультразвуковые импульсы, они способны на расстоянии $20-30$ м обнаружить даже маленькую дробинку, осторожно опущенную в воду. Ультразвук помогает и летучим мышам, которые плохо видят или вообще ничего не видят. Издавая с помощью своего слухового аппарата ультразвуковые волны (до $250$ раз в секунду), они способны ориентироваться в полете и успешно ловить добычу даже в темноте. Любопытно, что у некоторых насекомых в ответ на это выработалась особая защитная реакция: отдельные виды ночных бабочек и жуков тоже оказались способными воспринимать ультразвуки, издаваемые летучими мышами, и, услышав их, они тут же складывают крылья, падают вниз и замирают на земле.

Ультразвуковые сигналы используются и некоторыми китами. Эти сигналы позволяют им охотиться на кальмаров при полном отсутствии света.

Установлено также, что ультразвуковые волны с частотой более $25$ кГц вызывают болезненные ощущения у птиц. Это используется, например, для отпугивания чаек от водоемовс питьевой водой.

Использование ультразвука в технике. Ультразвук находит широкое применение в науке и технике, где его получают с помощью различных механических (например, сирена) и электромеханических устройств.

Источники ультразвука устанавливают на кораблях и подводных лодках. Посылая короткие импульсы ультразвуковых волн, можно уловить их отражения от дна или каких-либо других предметов. По времени запаздывания отраженной волны можно судить о расстоянии до препятствия. Использующиеся при этом эхолоты и гидролокаторы позволяют измерять глубину моря, решать различные навигационные задачи (плавание вблизи скал, рифов и т. д.), осуществлять рыбопромысловую разведку (обнаруживать косяки рыб), а также решать военные задачи (поиск подводных лодок противника, бесперископные торпедные атаки и др.).

В промышленности по отражению ультразвука от трещин в металлических отливках судят о дефектах в изделиях.

Ультразвуки дробят жидкие и твердые вещества, образуя различные эмульсии и суспензии.

С помощью ультразвука удается осуществить пайку алюминиевых изделий, что с помощью других методов сделать не удается (так как на поверхности алюминия всегда имеется плотный слой оксидной пленки). Наконечник ультразвукового паяльника не только нагревается, но и совершает колебанияс частотой около $20$ кГц, благодаря чему оксидная пленка разрушается.

Преобразование ультразвука в электрические колебания, а их затем в свет позволяет осуществить звуковидение. При помощи звуковидения можно видеть предметы в непрозрачной для света воде.

В медицине при помощи ультразвука осуществляют сварку сломанных костей, обнаруживают опухоли, осуществляют диагностические исследования в акушерстве и т. д. Биологическое действие ультразвука (приводящее к гибели микробов) позволяет использовать его для пастерилизации молока, стерилизации медицинских инструментов.

Несмотря на явные различия свойств жидкостей и газов, во многих случаях их поведение определяется одними и теми же параметрами и уравнениями, что позволяет использовать единый подход к изучению свойств этих веществ.

В механике газы и жидкости рассматривают как сплошные среды. Предполагается, что молекулы вещества распределены непрерывно в занимаемой ими части пространства. При этом плотность газа значительно зависит от давления, в то время как для жидкости ситуация иная. Обычно при решении задач этим фактом пренебрегают, используя обобщенное понятие несжимаемой жидкости, плотность которой равномерна и постоянна.

Определение 1

Давление определяется как нормальная сила $F$, действующая со стороны жидкости на единицу площади $S$.

$ρ = \frac{\Delta P}{\Delta S}$.

Замечание 1

Давление измеряется в паскалях. Один Па равен силе в 1 Н, действующей на единицу площади 1 кв. м.

В состояние равновесия давление жидкости или газа описывается законом Паскаля, согласно которому давление на поверхность жидкости, производимое внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

При механическом равновесии, давление жидкости по горизонтали всегда одинаково; следовательно, свободная поверхность статичной жидкости всегда горизонтальна (кроме случаев соприкосновения со стенками сосуда). Если принять во внимание условие несжимаемости жидкости, то плотность рассматриваемой среды не зависит от давления.

Представим некоторый объем жидкости, ограниченный вертикальным цилиндром. Поперечное сечение столба жидкости обозначим $S$, его высоту $h$, плотность жидкости $ρ$, вес $P=ρgSh$. Тогда справедливо следующее:

$p = \frac{P}{S} = \frac{ρgSh}{S} = ρgh$,

где $p$ - давление на дно сосуда.

Отсюда следует, что давление меняется линейно, в зависимости от высоты. При этом $ρgh$ - гидростатическое давление, изменением которого и объясняется возникновение силы Архимеда.

Формулировка закона Архимеда

Закон Архимеда, один из основных законов гидростатики и аэростатики, гласит: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая или подъемная сила, равная весу объема жидкости или газа, вытесненного частью тела, погруженной в жидкость или газ.

Замечание 2

Возникновение Архимедовой силы связано с тем, что среда - жидкость или газ - стремится занять пространство, отнятое погруженным в нее телом; при этом тело выталкивается из среды.

Отсюда и второе название для этого явление – выталкивающая или гидростатическая подъемная сила.

Выталкивающая сила не зависит от формы тела, также как и от состава тела и прочих его характеристик.

Возникновение Архимедовой силы обусловлено разностью давления среды на разных глубинах. Например, давление на нижние слои воды всегда больше, чем на верхние слои.

Проявление силы Архимеда возможно лишь при наличии тяжести. Так, например, на Луне выталкивающая сила будет в шесть раз меньше, чем на Земле для тел равных объемов.

Возникновение Силы Архимеда

Представим себе любую жидкую среду, например, обычную воду. Мысленно выделим произвольный объем воды замкнутой поверхностью $S$. Поскольку вся жидкость по условию находится в механическом равновесии, выделенный нами объем также статичен. Это означает, что равнодействующая и момент внешних сил, воздействующих на этот ограниченный объем, принимают нулевые значения. Внешние силы в данном случае – вес ограниченного объема воды и давление окружающей жидкости на внешнюю поверхность $S$. При этом получается, что равнодействующая $F$ сил гидростатического давления, испытываемого поверхностью $S$, равна весу того объема жидкости, который был ограничен поверхностью $S$. Для того чтобы полный момент внешних сил обратился в нуль, равнодействующая $F$ должна быть направлена вверх и проходить через центр масс выделенного объема жидкости.

Теперь обозначим, что вместо этой условного ограниченной жидкости в среду было помещено любое твердое тело соответствующего объема. Если соблюдается условие механического равновесия, то со стороны окружающей среды никаких изменений не произойдет, в том числе останется прежним давление, действующее на поверхность $S$. Таким образом мы можем дать более точную формулировку закона Архимеда:

Замечание 3

Если тело, погруженное в жидкость, находится в механическом равновесии, то со стороны окружающей его среды на него действует выталкивающая сила гидростатического давления, численно равная весу среды в объеме, вытесненным телом.

Выталкивающая сила направлена вверх и проходит через центр масс тела. Итак, согласно закону Архимеда для выталкивающей силы выполняется:

$F_A = ρgV$, где:

• $V_A$ - выталкивающая сила, H;
• $ρ$ - плотность жидкости или газа, $кг/м^3$;
• $V$ - объем тела, погруженного в среду, $м^3$;
• $g$ - ускорение свободного падения, $м/с^2$.

Выталкивающая сила, действующая на тело, противоположна по направлению силе тяжести, поэтому поведение погруженного тела в среде зависит от соотношения модулей силы тяжести $F_T$ и Архимедовой силы $F_A$. Здесь возможны три случая:

1. $F_T$ > $F_A$. Сила тяжести превышает выталкивающую силу, следовательно, тело тонет/падает;
2. $F_T$ = $F_A$. Сила тяжести уравнивается с выталкивающей силой, поэтому тело «зависает» в жидкости;
3. $F_T$